Κλίση συνάρτησης - online παζλ

Κλίση συνάρτησης

Η γενική διατύπωση γραμμικών συναρτήσεων είναι

g

(

x

)

=

m

x

+

b

{\displaystyle g(x)=mx+b}

. Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης (δηλ. μιας ευθείας) είναι

m

=

g

(

x

2

)

−

g

(

x

1

)

x

2

−

x

1

{\displaystyle m={\frac {g(x_{2})-g(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}}

για δύο οποιαδήποτε σημεία

(

x

1

,

g

(

x

1

)

)

,

(

x

2

,

g

(

x

2

)

)

{\displaystyle (x_{1},\,g(x_{1})\,),(x_{2},\,g(x_{2})\,)}

, όταν

x

1

{\displaystyle x_{1}}

διάφορο

x

2

{\displaystyle x_{2}}

.Αν

x

1

=

x

2

{\displaystyle x_{1}=x_{2}}

Τότε ΔΕΝ ορίζεται κλίση ευθείας.

Σε μη γραμμικές συναρτήσεις, π.χ. καμπύλες στο δισδιάστατο χώρο (ως παραστατική περίπτωση) η κλίση ποικίλλει. Ένας τρόπος για να οριστεί η κλίση μιας (μη γραμμικής)

συνάρτησης

f

(

x

)

{\displaystyle \,f(x)}

σε κάποιο σημείο

x

1

{\displaystyle \,x_{1}}

είναι να ταυτιστεί η κλίση της συνάρτησης στο σημείο

(

x

1

,

f

(

x

1

)

)

{\displaystyle (x_{1},\,f(x_{1}))}

με την κλίση της εφαπτομένης που έρχεται σε επαφή με την συνάρτηση στο συγκεκριμένο σημείο. Η επόμενη ερώτηση είναι λοιπόν πώς να υπολογιστεί η κλίση της εφαπτομένης. Είναι εύκολο να κατανοηθεί ότι αν επιλεχτεί ένα σημείο

x

2

{\displaystyle \,x_{2}}

κοντά στο

x

1

{\displaystyle \,x_{1}}

η τέμνουσα που διέρχεται από τα σημεία

(

x

1

,

f

(

x

1

)

)

{\displaystyle (x_{1},\,f(x_{1}))}

και

(

x

2

,

f

(

x

2

)

)

{\displaystyle (x_{2},\,f(x_{2}))}

έχει περίπου την ίδια κλίση με την εφαπτόμενη. Η κλίση της τέμνουσας είναι

f

(

x

2

)

−

f

(

x

1

)

x

2

−

x

1

{\displaystyle {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}}

Το παραπάνω κλάσμα ονομάζεται μέσος ρυθμός μεταβολής. Όσο πλησιέστερα επιλεχτεί το σημείο

x

2

{\displaystyle \,x_{2}}

στο σημείο

x

1

{\displaystyle \,x_{1}}

, τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση της κλίσης της εφαπτομένης. Η άπειρη προσέγγιση του σημείου

x

2

{\displaystyle \,x_{2}}

στο σημείο

x

1

{\displaystyle \,x_{1}}

και μαζί της ο υπολογισμός της κλίσης της εφαπτομένης εκφράζεται στα μαθηματικά ως ακολούθως

f

′

(

x

1

)

=

lim

x

2

→

x

1

f

(

x

2

)

−

f

(

x

1

)

x

2

−

x

1

{\displaystyle f'(x_{1})=\lim _{x_{2}\rightarrow x_{1}}{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}}

=

lim

h

→

0

f

(

x

1

+

h

)

−

f

(

x

1

)

h

{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x_{1}+h)-f(x_{1})}{h}}}

Η τιμή

f

′

(

x

1

)

{\displaystyle \,f'(x_{1})}

ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης

f

(

x

)

{\displaystyle \,f(x)}

στο σημείο

x

1

{\displaystyle \,x_{1}}

. Επίσης μπορεί να ειπωθεί πως η παράγωγος είναι το όριο του μέσου ρυθμού μεταβολής εάν το

x

2

{\displaystyle \,x_{2}}

τείνει στο

x

1

{\displaystyle \,x_{1}}

. Αν αυτό το όριο υπάρχει τότε η συνάρτηση

f

(

x

)

{\displaystyle \,f(x)}

ονομάζεται διαφορίσιμη, αν δεν υπάρχει το όριο , μη διαφορίσιμη.