Η γενική διατύπωση γραμμικών συναρτήσεων είναι
g
(
x
)
=
m
x
+
b
{\displaystyle g(x)=mx+b}
. Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης (δηλ. μιας ευθείας) είναι
m
=
g
(
x
2
)
−
g
(
x
1
)
x
2
−
x
1
{\displaystyle m={\frac {g(x_{2})-g(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}}
για δύο οποιαδήποτε σημεία
(
x
1
,
g
(
x
1
)
)
,
(
x
2
,
g
(
x
2
)
)
{\displaystyle (x_{1},\,g(x_{1})\,),(x_{2},\,g(x_{2})\,)}
, όταν
x
1
{\displaystyle x_{1}}
διάφορο
x
2
{\displaystyle x_{2}}
.Αν
x
1
=
x
2
{\displaystyle x_{1}=x_{2}}
Τότε ΔΕΝ ορίζεται κλίση ευθείας.
Σε μη γραμμικές συναρτήσεις, π.χ. καμπύλες στο δισδιάστατο χώρο (ως παραστατική περίπτωση) η κλίση ποικίλλει. Ένας τρόπος για να οριστεί η κλίση μιας (μη γραμμικής)
συνάρτησης
f
(
x
)
{\displaystyle \,f(x)}
σε κάποιο σημείο
x
1
{\displaystyle \,x_{1}}
είναι να ταυτιστεί η κλίση της συνάρτησης στο σημείο
(
x
1
,
f
(
x
1
)
)
{\displaystyle (x_{1},\,f(x_{1}))}
με την κλίση της εφαπτομένης που έρχεται σε επαφή με την συνάρτηση στο συγκεκριμένο σημείο. Η επόμενη ερώτηση είναι λοιπόν πώς να υπολογιστεί η κλίση της εφαπτομένης. Είναι εύκολο να κατανοηθεί ότι αν επιλεχτεί ένα σημείο
x
2
{\displaystyle \,x_{2}}
κοντά στο
x
1
{\displaystyle \,x_{1}}
η τέμνουσα που διέρχεται από τα σημεία
(
x
1
,
f
(
x
1
)
)
{\displaystyle (x_{1},\,f(x_{1}))}
και
(
x
2
,
f
(
x
2
)
)
{\displaystyle (x_{2},\,f(x_{2}))}
έχει περίπου την ίδια κλίση με την εφαπτόμενη. Η κλίση της τέμνουσας είναι
f
(
x
2
)
−
f
(
x
1
)
x
2
−
x
1
{\displaystyle {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}}
Το παραπάνω κλάσμα ονομάζεται μέσος ρυθμός μεταβολής. Όσο πλησιέστερα επιλεχτεί το σημείο
x
2
{\displaystyle \,x_{2}}
στο σημείο
x
1
{\displaystyle \,x_{1}}
, τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση της κλίσης της εφαπτομένης. Η άπειρη προσέγγιση του σημείου
x
2
{\displaystyle \,x_{2}}
στο σημείο
x
1
{\displaystyle \,x_{1}}
και μαζί της ο υπολογισμός της κλίσης της εφαπτομένης εκφράζεται στα μαθηματικά ως ακολούθως
f
′
(
x
1
)
=
lim
x
2
→
x
1
f
(
x
2
)
−
f
(
x
1
)
x
2
−
x
1
{\displaystyle f'(x_{1})=\lim _{x_{2}\rightarrow x_{1}}{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}}
=
lim
h
→
0
f
(
x
1
+
h
)
−
f
(
x
1
)
h
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x_{1}+h)-f(x_{1})}{h}}}
Η τιμή
f
′
(
x
1
)
{\displaystyle \,f'(x_{1})}
ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης
f
(
x
)
{\displaystyle \,f(x)}
στο σημείο
x
1
{\displaystyle \,x_{1}}
. Επίσης μπορεί να ειπωθεί πως η παράγωγος είναι το όριο του μέσου ρυθμού μεταβολής εάν το
x
2
{\displaystyle \,x_{2}}
τείνει στο
x
1
{\displaystyle \,x_{1}}
. Αν αυτό το όριο υπάρχει τότε η συνάρτηση
f
(
x
)
{\displaystyle \,f(x)}
ονομάζεται διαφορίσιμη, αν δεν υπάρχει το όριο , μη διαφορίσιμη.
