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Variedade (matemática)

Em matemática, uma variedade é um espaço topológico que se parece localmente com um espaço euclidiano nas vizinhanças de cada ponto. Mais precisamente, cada ponto de uma variedade de dimensão n tem uma vizinhança que é homeomorfa ao espaço euclidiano de dimensão n. Nesta terminologia mais precisa, uma variedade é chamada de n-variedade.Variedades unidimensionais incluem as retas e circunferências, mas não as lemniscatas (pois elas possuem pontos de cruzamento). As variedades bidimensionais também são chamadas de superfícies. Os exemplos incluem o plano, a esfera e o toro, que podem ser imersos (formados sem autointerseções) no espaço tridimensional, e também a garrafa de Klein e o plano projetivo real, que sempre terão autointerseções quando imersos no espaço tridimensional real.

As variedades são de interesse no estudo da geometria, da topologia, e da análise.

As variedades podem ser equipadas com alguma estrutura adicional. Uma classe importante de variedades é a das variedades diferenciáveis; esta estrutura diferenciável permite que o cálculo seja feito sobre variedades. Uma métrica Riemanniana permite que sejam medidas distâncias e ângulos. As variedades simpléticas servem como espaço de fase no formalismo Hamiltoniano da mecânica clássica, enquanto que a variedade lorentziana de dimensão quatro modela o espaço-tempo na relatividade geral.