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Gradient
En mathématique et en physique, le gradient d'une fonction mesure sa variation. Ainsi en météorologie, le gradient de température est le taux de variation de la température en fonction de la distance.
Pour une fonction numérique et à une seule variable, le gradient se confond avec la dérivée de la fonction.
Pour une fonction à plusieurs variables à valeurs réelles, le gradient de la fonction en un point est un vecteur dont la direction indique la direction de la variation la plus forte. Il caractérise la variabilité de cette fonction au voisinage de ce point.
Cette notion est liée à celle de différentielle pour des fonctions à valeurs réelles : si
f
{\displaystyle f}
est différentiable en
a
{\displaystyle a}
, la différentielle
f
′
(
a
)
{\displaystyle f'(a)}
est une forme linéaire ; à cette forme linéaire, si l'ensemble de départ
E
{\displaystyle E}
est de dimension finie, on peut associer un vecteur qui est le gradient de
f
{\displaystyle f}
en
a
{\displaystyle a}
.
Par exemple, si
f
{\displaystyle f}
est une fonction de
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
différentiable au point
a
{\displaystyle a}
, son gradient est le vecteur, noté à l'aide de l'opérateur nabla
∇
→
f
(
a
)
=
(
∂
f
∂
x
(
a
)
∂
f
∂
y
(
a
)
∂
f
∂
z
y
(
a
)
)
{\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}f(a)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}(a)\\{\frac {\partial f}{\partial y}}(a)\\{\frac {\partial f}{\partial zy}}(a)\end{pmatrix}}}
La variation de
f
{\displaystyle f}
au voisinage de
a
{\displaystyle a}
pour une petite variation
h
=
(
x
h
,
y
h
,
z
h
)
{\displaystyle h=(x_{h},y_{h},z_{h})}
est :
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
≈
∂
f
∂
x
(
a
)
⋅
x
h
+
∂
f
∂
y
(
a
)
⋅
y
h
+
∂
f
∂
z
(
a
)
⋅
z
h
.
{\displaystyle f(a+h)-f(a)\approx {\frac {\partial f}{\partial x}}(a)\cdot x_{h}+{\frac {\partial f}{\partial y}}(a)\cdot y_{h}+{\frac {\partial f}{\partial z}}(a)\cdot z_{h}.}
Puisque, à chaque point où f est différentiable, on peut définir un vecteur, l'ensemble de ces vecteurs forme un champ de vecteurs qui s'appelle aussi gradient de la fonction
f
{\displaystyle f}
et se note
∇
→
f
{\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}f}
. C'est une fonction définie sur
U
⊂
E
{\displaystyle U\subset E}
, ensemble des points de
E
{\displaystyle E}
où
f
{\displaystyle f}
est différentiable, à valeurs dans
E
{\displaystyle E}
.
Le gradient permet d'approcher les fonctions de plusieurs variables par des formes linéaires. Il se révèle très utile dans le domaine physique mais aussi en géométrie pour déterminer les normales aux lignes de niveaux ou aux isosurfaces.
