Πολλαπλότητα - online παζλ

Πολλαπλότητα

Στα μαθηματικά μια πολλαπλότητα ή πολύπτυχο είναι ένας Τοπολογικός χώρος που τοπικά μοιάζει με Ευκλείδειο χώρο κοντά σε κάθε σημείο. Πιο συγκεκριμένα, κάθε σημείο μίας n-διάστατης πολλαπλοτήτας έχει μια γειτονία που είναι ομοιομορφική με ένα ανοιχτό υποσύνολο του n-διάστατου Ευκλείδειου χώρου.

Μονοδιάστατες πολλαπλότητες περιλαμβάνουν γραμμές και κύκλους αλλά όχι οχτάρια (επειδή έχουν σημείο διασταύρωσης που δεν είναι τοπικός ομοιομορφισμός του Ευκλείδειου 1-χώρου). Οι δισδιάστατες πολλαπλότητες ονομάζονται επίσης και επιφάνειες. Παραδείγματα περιλαμβάνουν το επίπεδο, τη σφαίρα και τον τόρο, τα οποία μπορούν να ενσωματωθούν (χωρίς αυτο-διασταυρώσεις) στον τρισδιάστατο πραγματικό χώρο, αλλά επίσης και τη Φιάλη του Κλάιν και το Πραγματικό προβολικό επίπεδο τα οποία θα έχουν πάντα αυτο-διασταυρώσεις όταν θα εμβυθίζονται στον πραγματικό χώρο.

Αν και μια πολλαπλότητα μοιάζει τοπικά με Ευκλείδειο χώρο, παγκόσμια μπορεί και να μην ισχύει. Για παράδειγμα η επιφάνεια της σφαίρας δεν είναι ένας Ευκλείδειος χώρος αλλά σε μια περιοχή μπορεί να χαρτογραφηθεί με τη βοήθεια της χαρτογραφικής προβολής της περιοχής του Ευκλείδειου χώρου (στο πλαίσιο της πολλαπλότητας ονομάζονται διαγράμματα). Όταν μια περιοχή εμφανίζεται σε δύο γειτονικά διαγράμματα, οι δύο παραστάσεις δεν συμπίπτουν ακριβώς και ένας μετασχηματισμός χρειάζεται για να περάσει από τη μία στην άλλη, που ονομάζεται μεταβατικός χάρτης.

Η έννοια της πολλαπλότητας έχει κεντρική σημασία για πολλούς τομείς της γεωμετρίας και της σύγχρονης μαθηματικής φυσικής επειδή επιτρέπει σε πιο περίπλοκες δομές να περιγραφούν και να κατανοηθούν σε σχέση με τις σχετικά καλά κατανοητές ιδιότητες του Ευκλείδειου χώρου. Οι πολλαπλότητες προκύπτουν φυσικά ως λύσεις συνόλων από τα συστήματα των εξισώσεων και των γραφικών λειτουργιών. Οι πολλαπλότητες μπορεί να έχουν επιπλέον χαρακτηριστικά. Μια σημαντική κατηγορία πολλαπλοτήτων είναι των διαφορικών πολλαπλοτήτων. Αυτή διαφορική δομή επιτρέπει στον λογισμό να γίνει με πολλαπλότητα. Ένα Riemannian μέτρο σε μια πολλαπλότητα επιτρέπει αποστάσεις και γωνίες να μετρηθούν. Η συμπλεκτική πολλαπλότητα χρησιμεύει ως η φάση του χώρου στον Χαμιλτονιανό φορμαλισμό της κλασικής μηχανικής, ενώ των τεσσάρων διαστάσεων μοντέλο του χωροχρόνου της γενικής σχετικότητας στην πολλαπλότητα Lorenzian.