Gradient - Online-Puzzles

Gradient (Mathematik)

Der Gradient als Operator der Mathematik verallgemeinert die bekannten Gradienten, die den Verlauf von physikalischen Größen beschreiben. Als Differentialoperator kann er beispielsweise auf ein Skalarfeld angewandt werden und wird in diesem Fall ein Vektorfeld liefern, das Gradientenfeld genannt wird. Der Gradient ist eine Verallgemeinerung der Ableitung in der mehrdimensionalen Analysis. Zur besseren Abgrenzung zwischen Operator und Resultat seiner Anwendung bezeichnet man solche Gradienten skalarer Feldgrößen in manchen Quellen auch als Gradientvektoren.In kartesischen Koordinaten sind die Komponenten des Gradientvektors die partiellen Ableitungen im Punkt

P

{\displaystyle P}

, der Gradient zeigt deshalb in die Richtung der größten Änderung. Der Betrag des Gradienten gibt den Wert der größten Änderungsrate an diesem Punkt an.

Interpretiert man beispielsweise die Reliefkarte einer Landschaft als eine Funktion

h

(

x

,

y

)

,

{\displaystyle h(x,y),}

die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von

h

{\displaystyle h}

an der Stelle

(

x

,

y

)

{\displaystyle (x,y)}

ein Vektor, der in die Richtung des größten Höhenanstiegs von

h

{\displaystyle h}

zeigt. Der Betrag dieses Vektors gibt die größte Steigung an diesem Punkt an.

Der Gradient wird zusammen mit anderen Differentialoperatoren wie Divergenz und Rotation in der Vektor- und Tensoranalysis, Teilgebieten der mehrdimensionalen Analysis, untersucht. Sie werden mit dem gleichen Vektoroperator gebildet, und zwar mit dem Nabla-Operator

∇

{\displaystyle \nabla }

(bisweilen auch

∇

→

{\displaystyle {\vec {\nabla }}}

oder

∇

_

{\displaystyle {\underline {\nabla }}}

um anzudeuten, dass der Nabla-Operator hilfsweise als Vektor verstanden werden kann).